異方性と圧電材料について

Kevin Chan

Last edited 2024年08月29日 16:23

圧電材料は異方性です。つまり、すべての軸で同じ特性を持つわけではありません。したがって、圧電材料を表記する場合、どの軸が参照されているかを明確に区別する表記の形式を持つことが重要です。

たとえば、この記事の図1では、3はポーリングの軸（zまたは厚さ）で、1と2（xとy、または幅）は3軸に垂直な軸です。

OnScaleでは、デフォルトでZポーリング方向に設定されているため、すべての材料特性はこの方向に分極されているかのように入力されます。次に、matr axisを使用して、マトリックスを別の方向に転置することができます。

圧電材料は、必ずというわけではありませんが、通常、3軸の上端と下端に垂直な平面に沿って電極が付けられています。方向4、5、6は、それぞれ1、2、3軸を中心とした回転を表します。数値は、材料定数の添え字でxijの形式でよく使用されます。ここで、「x」は定数値、「i」は応答、「j」は適用された刺激です。

Figure 1

2つの一般的な定数は、開回路（OC）条件下での材料の圧電挙動を定義します。1つ目は、圧電応力定数（eij）です。これは、単位C/m²で表される、単位応力あたりに生成される電荷です。2つ目は、圧電ひずみ定数（dij）です。これは、単位電場によって生成されるひずみに等しく、m/vまたはC/Nの単位で表されます。

上付きの用語	圧電材料特性（主にOnScaleで使用）
T, 一定応力-機械的に自由	圧電応力定数[e] 単位 C/m²
S, 一定ひずみ-機械的に固定	圧電ひずみ定数[d] 単位 C/N または m/V
E, 一定電場-短絡	圧電電圧定数[g] 単位 Vm/N または m2/C
D, 一定の電気変位-OC	圧電電流定数[h] 単位 V/m

圧電構成関係
E, 電界 (V/m) - 3 成分 (x, y, z)	D 電気変位 (C/m²), 3 成分 (x, y, z)	T 応力 (N/m²), 6 成分 (xx, yy, zz, xy, yz, xz)	S ひずみ, 6 成分 (xx, yy, zz, xy, yz, xz)
[D]=[d][T]+[εT][E]	[D]=[e][S]+[εS][E]	[T]=[cE][S]-[e][E]	[S]= [sE][T]+[d][E]
一般的に使われない形式
[E]=-[h][S]+[εS]-1[D]	[E]=-[g][T]+[εT]-1[D]	[T]= [cD][S]-[h][D]	[S]=[sD][T]+[g][D]

機械的性質
[cE]=[sE]-1	[sD]=[sE] - [d][g]	[cD]=[cE] + [e][h]
圧電特性

[e]= [d] [cE]	[d]=[εT][g]	[g]=[εT]-1[d]	[h]=[g][cD]
誘電特性
[εT]= [εS]+[d][e]

圧電材料特性

これらの定数は、3行6列の圧電マトリクスに入力されます。ただし、18の定数すべてがゼロ以外の値を持つわけではなく、一部の定数は同一です。ほとんどの圧電マトリクスには、ゼロ以外の値を持つ5つの定数があり、そのうち3つは独立した値です。各値は、" matr " 基本コマンドと"piez" サブコマンドで入力されます。マトリクスの最も一般的な形式は[e]と[d]です。OnScaleは[g]または[h]パラメーターを使うことはできません。

[d]、[e]、[g]、および[h]マトリクスの成分

	1	2	3	4	5	6
1(or x)	0	0	0	0	15 or x5	0
2(or y)	0	0	0	24 or y4	0	0
3(or z)	31 or z1	32 or z2	33 or z3	0	0	0

通常、成分z1 = z2およびy4 = x5です。したがって、圧電特性は通常、たとえば[e]の場合、3つの数値として与えられます。

ez1 = -9.4
ez3 = 22.5
ex5 = 16.0

ほとんどの圧電材料では、z1成分は負の数です。デフォルトでは、OnScaleは圧電応力定数[e]を受け入れます。例えば、

matr
....
    piez pmt3 1 5 $ex5 2 4 $ex5 3 1 $ez1 3 2 $ez1 3 3 $ez3

または

matr
....
    piez pmt3 strs 1 5 $ex5 2 4 $ex5 3 1 $ez1 3 2 $ez1 3 3 $ez3

OnScaleは、一定応力[εT]マトリクスの形式で誘電特性も与えられます。ただし、 " matr / piez "行は、これを反映するように変更する必要があります。

matr
....
    piez pmt3 strn $epxx $epxx $epzz

誘電材料の特性

誘電体の特性は通常、ε0, 8.85418782 x 10^-12 F/mを基準にして表されます。OnScaleは、絶対誘電率として入力された場合にのみ誘電率値を与えます。

比誘電率 ε r= ε/ ε0
誘電率, 一定応力下, εT, 無次元
誘電率, 一定ひずみ下, εS, 無次元

これらの定数は、対称的な3行3列の誘電体マトリクスを作成します。3つのパラメーターにはゼロ以外の値があり、2つのパラメーターには共通の値があります。"elec"サブコマンドを使用して"matr"基本コマンドで各材料の値を入力します。

	x	y	z
x	xx	0	0
y	0	yy	0
z	0	0	zz

通常、成分xx = yyであるため、誘電率は2つの数値としてリストされます。例：

εSxx = 1306 * ε0
εSzz = 1200 * ε0

デフォルトでは、OnScaleは一定ひずみ[εS]の誘電特性を受け入れます。例：

matr
....
   elec pmt3 $epxx $epxx $epzz

または

matr
....
   elec pmt3 strn $epxx $epxx $epzz

OnScaleは、一定応力[εT]マトリックスの形式で誘電特性も与えることができます。ただし、"matr/elec" 行は、これを反映するように変更する必要があります。

matr
....
   elec pmt3 strs $epxx $epxx $epzz

機械的特性

機械的特性は通常、一定の電場（E）で与えられますが、一定の電気変位（D）の場合もあります。OnScaleは、一定の電界条件[cE]および[sE]を想定しています。

コンプライアンス [s] 単位 Pa-1
剛性 [c] 単位 Pa またはN / m2

コンプライアンスに[s]を使用し、剛性に[c]を使用しても、これは記載ミスではありません。これらの定数は、対称的な6行6列の剛性またはコンプライアンスマトリクスを作成します。最も一般的な圧電材料の21の可能なパラメーターのうち、9はゼロ以外の値と6つの独立した値を持っています。"matr"コマンドの "type lean"および"matr"サブコマンドを使用して、材料ごとに値が入力されます。

[c]または[s]マトリクスの成分：

	1	2	3	4	5	6
1	11	12	13	0	0	0
2	21(s)	22	23	0	0	0
3	31(s)	32(s)	33	0	0	0
4	0	0	0	44	0	0
5	0	0	0	0	55	0
6	0	0	0	0	0	66

通常、成分は11 = 22、13 = 23、44 = 55となり、剛性とコンプライアンスの特性は6つの数値で示されます。

対称成分は常に等しいため、21 = 12、31 = 13、および32 = 23です。これらの対称的な値は、たとえば[c]の場合、OnScaleに入力する必要はありません。

c11 = 1.14e11
c12 = 0.757e11
c13 = 0.724e11
c33 = 1.11e11
c44 = 2.63e10
c66 = 1.92e10

Note: c66は((c11-c12)/2)から推定できる場合があります！

デフォルトでは、OnScaleは一定の剛性パラメーター[c]をサポートしています。つまり

matr
    type lean 
    prop pmt3 $rho 
    $c11 $c12 $c13 0.0 0.0 0.0 $c11 
    $c13 0.0 0.0 0.0 $c33 0.0 0.0
    0.0 $c44 0.0 0.0 $c44 0.0 $c66

または

matr
    type lean 
    prop pmt3 $rho 
    stif $c11 $c12 $c13 0.0 0.0 0.0 $c11 
         $c13 0.0 0.0 0.0 $c33 0.0 0.0
         0.0 $c44 0.0 0.0 $c44 0.0 $c66

OnScaleは、コンプライアンス定数[s]の形式で材料特性でも与えることができます。"matr/ prop "行は、これを反映するように変更する必要があります。

matr
    type lean 
    prop pmt3 $rho 
    cmpl $c11 $c12 $c13 0.0 0.0 0.0 $c11 
         $c13 0.0 0.0 0.0 $c33 0.0 0.0
         0.0 $c44 0.0 0.0 $c44 0.0 $c66

したがって、圧電材料は次のように定義できます。

matr
    type lean 
    prop pmt3 $rho 
    cmpl $c11 $c12 $c13 0.0 0.0 0.0 $c11 
         $c13 0.0 0.0 0.0 $c33 0.0 0.0
         0.0 $c44 0.0 0.0 $c44 0.0 $c66 
    piez pmt3 1 5 $ex5 2 4 $ex5 3 1 $ez1 3 2 $ez1 3 3 $ez3
    elec pmt3 $epxx $epxx $epzz

ここで、"$"値は、後に続く英数字が変数を定義することを示します。

OnScaleには、減衰または損失成分も含まれています。ほとんどのメーカーは、これを機械的品質係数（Qファクタ）として挙げています。PZT4などのQの高い材料は、通常500〜1000の範囲です。彼らは一般的に海軍ソナーなどの高出力製品で使用されます。医用画像で使用されるPZT5Hタイプの材料は、多くの場合50〜100の範囲にあり、クロスカップリングが低いメタニオブ酸鉛などの材料は、Q係数が20未満であることがよくあります。励起してから長い間、低Q材料はすぐに定常状態に戻ります。

OnScaleは通常、レイリー減衰に"rdmp"サブコマンドを使用します。質量と剛性の減衰との組み合わせは、圧電材料の減衰を表します。この値は、縦減衰とせん断減衰の両方に設定できます。ただし、ほとんどのメーカーは1つのQ値のみを提供しています。Qは1つの周波数（1 MHzなど）で測定および定義され、通常、周波数とともに直線的に変化します。

rdmp pmt3 $freqdamp q $qdmp $qdmp 1.e6 1.

上記の"pmt3"材料の減衰ステートメントでは、"freqdamp"変数がQの周波数値を設定します。減衰がすべての周波数で完全に一致することはできず、通常はデバイスの中心周波数であるために必要です。Qは、以下の数字が品質係数を参照することを示します（あるいはdBと臨界減衰の％）。次の2つの変数は"qdmp"です。これらは、縦およびせん断のQ値で、これからの値はQ係数が測定された時の値です。

最後の数値は、Q係数が周波数とともに変化する電力です。最も一般的には1ですがこれは線形になります。図2は、設定された減衰と実際の減衰、およびユーザーが関心のある周波数範囲で2つを最適に一致させようとしています。

Figure 2.

OnScaleは、可能な限り広い周波数範囲で以下の式に従います。この方程式は、減衰を表す最も一般的な方法です。

ここで

do = 係数
f = すべての周波数
frequency = 基準周波数
exp = 指数値

メーカーの材料特性

圧電材料の正確なモデリングには、13の独立したパラメーターが必要です。

密度: ρ
剛性 [c] (またはコンプライアンス [s]) 6成分: c11, c12, c13, c33, c44, c66
圧電 3成分 ([d] or [e]): ex5, ez1, ez3
誘電体 2 成分 ([εT] or [εS]: εxx と εzz
機械的 Q値 (無次元, "matr/xdmp"コマンドの1つで入力します)

使用している値（剛性やコンプライアンス、一定の応力や一定のひずみなど）を確認し、値を正しく入力することが重要です。

指定された形式で行列を入力すると、OnScaleは他の形式を計算し、それらの値をprintfileに表示します。たとえば、剛性（[c]）マトリクスを入力すると、OnScaleはコンプライアンス[s]マトリクスを計算し、それをprintfile（<jobname> .flxprt）に表示します。

必要な情報をすべて提供しているメーカーもありますが（Feroperm、http：//www.ferroperm-piezo.com/など）、他のメーカーは提供していません。これらの場合、空白を埋める必要があり、類似の既知の材料の値と比較して未知の値を概算します。

メーカーから提供されるデータは通常、値の誤差範囲を示しています。たとえば、

剛性: +/- 5%
圧電: +/- 10%
誘電体: +/- 20%

値はメーカーによって異なります。

材料特性を入力するための方法は、材料が正方（4mm）システムに準拠していることを前提としています。これは、PZT5Hを含む圧電モデリングで使用される材料の大部分をカバーしています。石英などの一部の材料では、さまざまなマトリクスから追加の成分が必要になる場合があります。

圧電材料のポーリング

OnScaleでのポーリングは、異方性材料に方向を割り当てることで行われます。たとえば、正のx軸に沿って材料をポーリングしたい場合は、次のことを行う必要があります。

剛性、圧電性、誘電性マトリクスを通じて材料特性を定義します。
軸コマンドを使用して一意の軸を定義します。
新しい軸方向を参照するために、matr axisを使用して、matr prop leanに方向を割り当てます。

これにより、材料を任意の相対方向（非直交）に極性化できるため、角度の付いたセラミックを極性化したり、湾曲した放射状に極性化したデバイスを作成することができます。。

タイプLEAN材料はデフォルトで正のz方向に配向されているため、この軸を任意の軸に変更する場合は注意が必要です。たとえば、x軸から12度の角度でセラミックをポーリングします。

/* create local axis for poling - remember material is poled in z so have to rotate y
/* 90 degrees to orientate in x then use inclination
symb angle = 12
axis
     form angl
     defn pole cart 0. 0. 0. 0. -90 -$angle
     end
term

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